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Sismique : Ondes - Imagerie - Traitement - Imagerie des hétérogénéités géologiques - Applications

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Théorie

  • Fonction de Green

    En régime harmonique, la solution de l'équation des ondes scalaires ayant pour terme source δ(x) est la fonction de Green G(r) = -eikr/(4πr).
    On peut le vérifier en intégrant l'équation des ondes sur un volume sphérique de rayon r quelconque.

    k = ω/V ΔG+k2G = δ(x) ∫ΔGdx = ∫gradG.dS = 4πr2∂G/∂rer.er = -(ikr-1)eikr k2∫Gdx = k2∫G4πr2dr = -k2∫reikrdr = -k2(reikr/ik+(eikr-1)/k2) = (ikr-1)eikr+1 ∫(ΔG+k2G)dx = ∫δ(x)dx = 1

    La fonction de Green permet de connaitre le champ d'onde en tout point x d'un volume, en l'absence de sources à l'intérieur du volume et en connaissant le champ d'onde et son gradient sur la surface S du volume (formule de Kirchhoff).
    En notant x' les coordonnées sur la surface S, n la normale unitaire à S dirigée vers l'extérieur, dS = ndS, on a :

    ΔG+k2G = δ(x)
    Δφ+k2φ = 0
    φδ(x) = φΔG-GΔφ = div(φgradG-Ggradφ) ∫φδ(x)dx = ∫div(φgradG-Ggradφ)dx = ∫(φgradG-Ggradφ).dS φ(x) = ∫(φgradG-Ggradφ).ndS
    r = |x-x'| ∂G/∂n = n.gradG = (ik-1/r)G∂r/∂n φ(x) = -(1/4π)∫(φ(x')(ik-1/ |x-x'|)∂ |x-x'|/∂n-∂φ(x')/∂n)eik|x-x'|/|x-x'|dS(x')

    Si il y a en plus des sources dans le volume, il y a un terme supplémentaire. En notant x'' la variable d'intégration à l'intérieur du volume, on a :

    Δφ+k2φ = f(x) φδ(x)-Gf(x) = φΔG-GΔφ φ(x) = ∫Gf(x'')dx'' + ∫(φgradG-Ggradφ).ndS = -(1/4π)∫f(x'')eik|x-x''|/|x-x''|dx'' + terme de surface

    Ces représentations intégrales expriment comment un champ d'ondes en un point se construit par interférence (superposition) de toutes les ondes arrivant en ce point. Les contributions constructives à l'intégrale proviennent des points pour lesquels la phase est stationnaire.

  • Théorie scalaire de la diffusion, approximation de Born, tomographie de diffraction : résonances dans les milieux hétérogènes (Born et Wolf, 1999, p.695-716 ; Wu et Toksöz, 1987)

    En milieu homogène de vitesse constante V0, une onde plane harmonique φ0 se propage à vitesse, longueur d'onde, direction et amplitude constantes.
    Une source ponctuelle émet une onde sphérique G0 qui se propage à vitesse et longueur d'onde constantes, dans toutes les directions radiales, avec une amplitude décroissant en 1/r (conservation de l'énergie sur la surface d'onde sphérique).
    Une source étendue émet une onde correspondant à la superposition linéaire des ondes sphériques émises par chaque élément du volume source, avec des amplitudes égales à celles de la source en chaque point.
    En milieu inhomogène comportant des fluctuations spatiales de vitesse par rapport au milieu homogène, l'équation d'onde peut s'écrire comme celle en milieu homogène avec un terme source S(x) fonction de la longueur d'onde et des fluctuations de vitesse.
    En écrivant l'onde φ en milieu inhomogène comme la superposition de l'onde en milieu homogène plus celle φs diffusée par les inhomogénéités, l'onde diffusée apparait comme une onde en milieu homogène issue d'une source d'amplitude égale au produit φS(x) étendue au volume inhomogène.
    A distance du volume inhomogène, l'onde diffusée apparait comme une onde sphérique d'amplitude variable suivant la direction d'observation e.

    onde plane
    k0 = ω/V0 , k0 = k0e0
    onde sphérique issue de x'
    r = |x-x'|
    milieu inhomogène V(x)
    S(x) = k02(1-V02/V(x)2)
    onde diffusée
    φs = φ-φ0
    ampl. diffusion de φs quasi-sphérique
    origine au centre du volume inhomogène
    Δφ0+k02φ0 = 0 ΔG0+k02G0 = δ(x-x') Δφ+(ω2/V(x2)φ = 0
    Δφ+k02φ = S(x
    Δφs+k02φs = S(x x = Re , k = k0e
    R>>|x'| , |x-x'| ≈ R-e.x'
    φ0(x) = eik0.x G0(r) = -eik0r/4πr φ = φ0s φs(x) = ∫φ(x')S(x')G0(x',x)dx' φs(x) ≈ (-eik0R/R)∫φ(x')S(x')e-ik.x'dx'

    L'approximation de Born utilise l'onde φ0 en milieu homogène à la place de φ pour calculer φs. Chaque point de l'inhomogénéité émet une onde sphérique en milieu homogène avec une amplitude initiale φ0S(x') : l'onde incidente rebondit une seule fois en chaque point du volume inhomogène.

    Pour une onde incidente φ0 plane harmonique de direction e0, l'amplitude de diffusion dans la direction e est la TF de S(x) pour la valeur du vecteur d'onde K = k0(e-e0). K est colinéaire à la bissectrice de l'angle(e,-e0). En notant eb la direction de la bissectrice et 2θ la valeur de l'angle, K = 2k0cosθeb. Le module de K est égal à 2kb, où kb est la composante du vecteur d'onde des ondes incidentes et diffusées dans la direction eb. En enregistrant dans la direction e les ondes diffusées dues à une onde incidente dans la direction e0, on détermine la périodicité spatiale du milieu de propagation correspondant au nombre d'onde 2kb dans la direction eb de la bissectrice de l'angle(e,-e0). En transmission (2θ ≈ π), on détermine les basses fréquences spatiales, alors qu'en réflexion (θ ≈ 0), on détermine les hautes fréquences spatiales de la structure inhomogène.

    Le résultat obtenu est analogue à la condition d'interférence constructive dans une couche d'épaisseur H ou dans une stratification périodique de couches d'épaisseur H (longueur d'onde de la périodicité de la structure Λ = 2H, nombre d'onde K = 2π/Λ = π/H) : 2kzH = π ou 2kz = K . C'est l'accord entre la périodicité spatiale du milieu dans la direction eb et les longueurs d'ondes apparentes incidente et diffusée dans la direction eb qui produit la résonance qui permet de déterminer S(K = 2k0cosθeb).

    A faible distance de l'inhomogénéité, l'onde diffusée ne peut pas être considérée comme quasi sphérique. En décomposant en somme d'ondes planes chaque onde sphérique élémentaire et l'onde diffusée mesurée φs1(x), on obtient S(K) en fonction des composantes d'onde plane de l'onde diffusée Φs1(kx,ky,z). Cette relation est à la base de la tomographie de diffraction. Les méthodes de migration des données de sismique réflexion sont des implémentations de la tomographie de diffraction adaptées aux limitations des géométries d'enregistrement utilisables en géophysique.

    Born = diffraction simple
    S(x) ≈ k02(2δV(x)/V0)
    amplitude diffusion de φs1 quasi-sphérique
    S(K = k0(e-e0) = 2 k0cosθb)
    tomographie de diffraction
    G0(kx,ky,z) = (1/ikz(kx,ky))eikz(kx,ky)z
    migration à offset nul
    e = -e0 , K = 2k0e
    φs1(x) = ∫φ0(x')S(x')G0(x',x)dx' φs1(x) ≈ (-eik0R/R)∫S(x')e-i(k-k0).x'dx' = (-eik0R/R)S(K) φs1(x) = ∫dx'eik0.x'S(x')∫dkxdky(1/ikz)eik.(x-x') = ∫(1/ikz)S(k-k0)eikzzeikxx+kyydkxdky
    S(K) = ikze-ikzzΦs1(kx,ky,z)
    S(x') = ∫S(K)eiK.x'dK = ∫∫Φs1(Kx,Ky,z=0)eiKz(Kx,Ky)z'eiKxx'+Kyy'dKxdKy

    Pour tenir compte des rebonds multiples de l'onde au sein du volume inhomogène, on peut itérer l'expression de Born. En prenant pour onde incidente l'onde diffusée qui a rebondi une fois, on obtient l'onde diffusée qui a rebondi deux fois au sein de l'inhomogénéité. En itérant, on obtient une série dont chaque terme représente un rebond supplémentaire. Dans un espace échantillonné, la série s'écrit sous forme matricielle pour des sources en xs, des récepteurs en xr et en introduisant la matrice diagonale S[x',x']. La sommation à l'infini fait apparaitre la matrice T qui prend en compte formellement la diffraction multiple à tous les ordres. La série s'écrit aussi sous forme matricielle dans le domaine de Fourier.

    diffraction simple φ = φ0s1 diffraction double φ = φ0s1s2 diffraction multiple φ = φ0+Σφsn
    φs1(x) = ∫φ0(x')S(x')G0(x',x)dx' φs2(x) = ∫φs1(x")S(x")G0(x",x)dx" φsn(x) = ∫φs(n-1)(x")S(x")G0(x",x)dx"
    Φs1[xs,xr] = Φ0[xs,x']S[x',x']G0[x',xr]
    Φ = Φ0+Φ0SG0
    Φs2[xs,xr] = Φ0[xs,x']S[x',x']G0[x',x"]S[x",x"]G0[x",xr]
    Φ = Φ0+Φ0SG0+Φ0SG0SG0
    T = S+SG0S+... = S(I-G0S)-1
    Φ = Φ0+Φ0TG0

  • Réflexion-transmission par une couche homogène

    couche homogène 0≤z≤H
    S(x,y,0≤z≤H) ≈ k02(2δV/V0)
    ∫∫eik0r/rdx'dy' = 2π∫∫RdReik0(R2+(z-z')2)½/(R2+(z-z')2)½ = 2π∫d((R2+(z-z')2)½)eik0(R2+(z-z')2)½ = 2iπ/k0eik0|z-z'|
    φ(z) = eik0z + φs(z) φsc(z) = -k02(2δV/V0)/4π∫dz'φ(z')∫∫eik0r/rdx'dy' = -ik0(δV/V0)∫dz'φ(z')eik0|z-z'| k = k0/(1+δV/V0) = k0(1-δV/V0)
    réflexion-transmission de Born
    z<0 , |z-z'| = z'-z
    z>H , |z-z'| = z-z'
    φs1(z<0) = -ik0(δV/V0)∫dz'eik02z'e-ik0z = -(δV/2V0)(e2ik0H-1)e-ik0z
    φs1(z>H) = -ik0(δV/V0)∫dz'eik0z = -ik0H(δV/V0)eik0z
    φ1(z>H) = (1-ik0H(δV/V0))eik0z ≈ e-ik0H(δV/V0)eik0z = eik0(1-(δV/V0))Heik0(z-H)
    RB = -(δV/2V0)(e2ik0H-1) = -RH1
    TB = eik0(1-δV/V0)H = eikH = TH1
    diffraction multiple 0≤z≤H (d2/dz2)∫dz'φ(z')eik0|z-z'| = 2ik0φ(z)-k02∫dz'φ(z')eik0|z-z'| d2φ(z)/dz2 = -k02(1-2δV/V0)φ(z) = -k2φ(z)

  • Approximation de Born et migrations de Fourier en milieu hétérogène (Huang et al., 1999 ; Huang et Fehler, 2000)

    P(z+Δz) = P0(z+Δz)+Ps(z+Δz)
    P0(kx,ky,z+Δz) = eik0z(z)ΔzP(kx,ky,z)
    k0z(z) = (k0(z)2-kx2-ky2)½
    Ps(x,y,z+Δz) = ∫dx'P(x')S(x')∫dkxdky(1/ik0z)eik.(x-x')
    ≈ Δz∫dx'dy'P(x',y',z)S(x',y',z)∫dkxdky(1/ik0z)eik0zΔzei(kx(x-x')+ky(y-y'))
    S(x) ≈ k0(z)2(2δV(x)/V0(z)) = -2ωk0(z)δ(1/V(x))
    Ps(kx,ky,z+Δz) ∝ iωΔz(k0(z)/k0z(z))eik0zΔz∫dx'dy'P(x',y',z)δ(1/V(x',y',z))e-i(kxx'+kyy')
    k0(z)/k0z(z) ≈ 1
    (1+iωδ(1/V(x',y',z))Δz) ≈ eiωδ(1/V(x',y',z))Δz
    P(kx,ky,z+Δz) ∝ eik0zΔz∫dx'dy'P(x',y',z)(1+iωδ(1/V(x',y',z))Δz)e-i(kxx'+kyy')
    P(kx,ky,z+Δz) ∝ eik0zΔz∫dx'dy'P(x',y',z)eiωδ(1/V(x',y',z))Δze-i(kxx'+kyy')
    kz ≈ k0z(z)+ωδ(1/V(x,y,z)) p(x,y,z+Δz) = eiωδ(1/V(x,y,z)Δz∫P(kx,ky,z)eik0zΔzei(kxx+kyy)dkxdky

  • Propagation des ondes élastiques dans les milieux faiblement inhomogènes, spectre de puissance des ondes diffusées par une distribution statistique d'hétérogénéiteés, fluctuations d'amplitude et de phase , inversion des codas des sismogrammes (Aki et Richards,1980, p.728-751 ; Frankel et Clayton, 1986 ; Jannaud et al., 1991)

    fonction corrélation δV puissance moyenne diffusée
    N(r) = <δV(x')δV(x")>
    r = |x'-x"|
    s1φs1*> = (1/R)2∫∫<S(x')S(x")>e-i(k-k0).(x'-x")dx'dx" = (2k02/RV0)2∫∫N(x'-x")e-i(k-k0).(x'-x")dx'dx"
    <|φs1|2> = (2k02/RV0)2Ω∫N(ξ)e-i(k-k0).ξd&xi
    N(r) = <δV2>e-r/a θ = angle(k0,k)
    |k-k0| = 2k0sinθ/2
    <|φs1|2> ∝ <(δV/V0)2>(k02/R)2Ωa3(1+(|k-k0|a)2)-2
    N(r) = <δV2>e-(r/a)2 <|φs1|2> ∝ <(δV/V0)2>(k02/R)2Ωa3e-(|k-k0|a/2)2

    fluctuation phase δχ et amplitude δA pour δV(0≤x≤L) cône de Fresnel R2<L/k0
    φ(x) = A(1+δA/A)eiδχeik0x ≈ A(1+δLogA+iδχ)eik0x r = (R2+(x-x')2)½ ≈ (x-x')+R2/2(x-x')
    φ(x) = A(eik0x+∫eik0x'S(x')eik0r/rdx') = A(1+∫eik0(x'-x)S(x')eik0r/rdx')eik0x δLogA+iδχ = ∫S(x')eik0R2/2(x-x')/(x-x')dx'
    N(r) = <δV2>e-(r/a)2
    D = 4L/(k0a2)
    <|δχ|2> ∝ <(δV/V0)2>k02aL(1+ArctgD/D)
    <|δLogA|2> ∝ <(δV/V0)2>k02aL(1-ArctgD/D)

  • Absorption, section efficace, transport d'énergie, scattering multiple (Born et Wolf, 1999, p.716-721 ; Wu, 1985 ; Zeng et al., 1991 ; Tourin et al., 2000)

    v = gradφ , p = iωρφ , Pt = pv <Pt> = (1/2)ℜ(pv*) = -(ωρ/2)ℑ(φgradφ*) = iωρ/4(φgradφ*-φ*gradφ)
    φ = φ0s
    φ0 = eik0.x , gradφ0 = ik0φ0
    φs = As(k0,k)eik0R/R , gradφs ≈ ikφs
    <Pt> = <Pt0>+<Pts>+iωρ/4(φ0gradφs*+φsgradφ0*-φ0*gradφss*gradφ0)
    <Pt> = <Pt0>+<Pts>+(ωρ/2)ℑ(φ0*gradφssgradφ0*)
    <Pt> = <Pt0>+<Pts>+(ωρ/2R)ℜ(Aseik0Re-ik0.x)(k0+k)
    <Pt0> = (ωρ/2)k0 , ∫<Pt0>.dS = 0
    ∫f(e)e-ike0.eRdS ≈ (iR/k)(f(e0)e-ikR-f(-e0)eikR)
    ∫<Pt>.dS = Ws+(ωρk0/2R)ℜeik0R∫Ase-ik0e.e0R(e0+e).dS = -Wa
    Ws+Wa = ωρℑAs(k0,k0) , Q = (Ws+Wa)/|<Pt0>| = (2/k0)ℑAs(k0,k0)

  • Réflectivité et transmissivité en milieu stratifié, filtrage stratigraphique, effet sur les analyses AVO (Aki et Richards, p.660-669 ; Shapiro et Hubral, 1999 ; Muller et al., 2002)
  • Scattering inverse appliqué à l'élimination des multiples en sismique réflexion (Weglein et al., 1997)

    Références

    Bibliographie migration
    Bibliographie scattering

    Amplitudes

    Les réflexions multiples dans une stratification contribuent à l'atténuation de la transmission et des réflexions primaires :

    ondes transmission réflexion
    primaires Tp = ∏i=1,n TieiTn+1 = ei∑i=1,n φii=1,n+1 Ti Rp = R1+∑j=1,n Rj+1i=1,j Titie2iφi = R1+∑j=1,n Rj+1 e2i∑i=1,j φi
    multiples Tm = Tpj=1,n Rj+1i=1,j rik=i,j tkTke2iφk ≈ Tpj=1,n i=1,j Rj+1rie2i∑k =i,j φk Rm =
    primaires + multiples T = Tp(1+∑j=1,n i=1,j Rj+1rie2i∑k =i,j φk)

    |T| ≈ ∏i=1,n+1 Ti (1+∑j=1,n i=1,j Rj+1ricos2∑k =i,j φk) ≈ ∏i=1,n+1 Ti ej=1,n i=1,j Rj+1ricos2∑k =i,j φk

    Bibliographie amplitude

    Multiples

    Les réflexions multiples successives sur la surface de l'eau forment une série M que l'on peut en principe inverser pour déterminer la réponse impulsionnelle R(kx, ω) d'une stratification horizontale à une onde harmonique. Pour une source non-impulsionnelle E(kx, ω), la détermination de E fait partie du problème. Pour une onde diffusée par un milieu inhomogène, tous les trajets réfléchis sur la surface sous les différentes incidences constituent un multiple.

    source multiples démultiplication
    impulsion M = R-R2+R3-... = R/(1+R) R = M/(1-M) = M+M2+M3+...
    E(ω) M = ER/(1+R) R = M/(E-M) = (M/E)+ (M/E)2+ (M/E)3+...
    impulsion Φ(kx0,kx) = Φs(kx0,kx)-∫dk'xΦs(kx0,k'xs(k'x,kx)+... Φs(kx0,kx) = Φ(kx0,kx)+∫dk'xΦ(kx0,k'x)Φ(k'x,kx)+...

    Bibliographie multiples

    Propagation

    Interférométrie 1D avec 2 récepteurs et 1 réflecteur dans le cas d'une onde incidente montante ou descendante

    réflecteur sous récepteurs 1 et 2 entre récepteurs 1 et 2
    onde incidente descendante phase φ0 sur réflecteurmontante phase φ'0 sur réflecteur descendante phase φ0 sur réflecteurmontante phase φ'0 sur réflecteur
    récepteur 1 ei(φ01)+Rei(φ01) tei(φ'01) ei(φ01)+Rei(φ01) tei(φ'01)
    récepteur 2 ei(φ02)+Rei(φ02) tei(φ'02) Tei(φ02) ei(φ'02)+rei(φ'02)
    corrélation 1-2 e-i(φ12) +Re-i(φ12) +Rei(φ12) +R2ei(φ12) t2ei(φ12) Te-i(φ12) +RTei(φ12) tei(φ12) +rtei(φ12)

    Interférométrie dans une couche d'épaisseur temps τ avec 2 récepteurs dans la couche

    cas temps en z2 pour source en z1 (périodicité 2τ) temps en z1 et z2 pour onde montante (périodicité 2τ) Δt corrélation z1 et z2 (périodicité 2τ)
    z1 .t0+td2τ+t0-tr.
    z2 tdtr2τ-tr2τ-td t0..2τ+t0+td-tr td2τ-tr-2τ+tr-td

    La méthode de la source virtuelle permet de synthétiser un enregistrement source-récepteur en profondeur incluant les réflexions à partir d'enregistrements faits en surface pour des sources en profondeur (ou inversement), sans connaitre les vitesses de propagation. Par corrélation, on somme les arrivées dont les différences de temps sont les mêmes. Par sommation sur les récepteurs, on fait apparaître les arrivées dont la phase est stationnaire autour du trajet réfléchi. La méthode s'applique quelque soit la complexité du milieu, car elle repose sur le principe du retournement temporel des ondes en milieu hétérogène.

    virtualsource

    La focalisation par retournement temporel d'un champ d'onde diffracté, au temps t = 0 et à la position de la source permet d'écrire :
    G(xb, xa, -t)+G(xb, xa, t) = ∫G(x, xa, -t)×G(xb, x, t)dx
    où × représente le produit de convolution (addition des temps, multiplication des amplitudes) et G la fonction de Green.
    En effet, l'intégrale représente la propagation après retournement temporel, depuis x, du champ diffracté issu de xa et enregistré en x. Ce champ se rétropropage : G(xb, xa, -t), se focalise en t= 0 en xa et continue de se propager depuis xa : G(xb, xa, t).
    Cette relation est à la base de l'interférométrie sismique : en considérant des sources en x enregistrées en xa et xb, l'intégrale représente la corrélation des deux champs. Le bruit sismique peut faire effet de sources s'il provient de toutes les directions.

    Bibliographie propagation

    Puits

    Bibliographie puits

    Sismique profonde

    Bibliographie imagerie tectonique : Croûte océanique - Croûte continentale - Compression - subduction - Extension - marges - Failles actives