JMM @ EOST

Imagerie sismique : sujets


Contrôle continu (programmation des différentes méthodes de migration à partir de 2006) : 05 - 04 - 03 - 02 - 01 - 00 - 99
Sujets d'examen : 12 - 11 - 10 - 09 - 08 - 07 - 06 - 05 - 04 - 03 - 02 - 01 - 00 - 99

Examen 2012

fig1a - fig1b
La figure 1A montre un modèle comportant un réflecteur de pendage α = 30° et un réflecteur horizontal à la profondeur za = 1000m. L’abscisse du point d’intersection des deux réflecteurs est xa = 1732 m.
La vitesse de propagation dans le milieu situé au dessus du réflecteur horizontal à droite du réflecteur penté est constante : V1 = 2000 m/s. Celle dans le milieu situé au dessus du réflecteur horizontal à gauche du réflecteur penté augmente linéairement avec la profondeur : V(z) = V0 + az avec V0 = 1000 m/s et a = 3 /s.
La figure 1A montre plusieurs rayons réfléchis pour des couples source-géophone confondus placés en z = 0.

Vitesse constante
Déterminer et représenter sur la figure 1B le temps double de réflexion correspondant au réflecteur horizontal pour des couples source-récepteur confondus placés en z = 0 et x>=xa (trajets à vitesse V1).
Déterminer et représenter sur la figure 1B les temps doubles de réflexion sur le réflecteur penté pour les trajets dans le milieu de vitesse V1. Spécifier la valeur maximum de x du couple source-récepteur confondu enregistrant cette réflexion et le temps double correspondant.
Déterminer et représenter sur la figure 1B les temps doubles de la diffraction issue du point (xa , za) pour les trajets dans le milieu de vitesse V1. Respecter sur la figure la relation entre les pentes des réflexions et celles de la diffraction.
Donner un algorithme de migration permettant d’obtenir l’image de l’ensemble du milieu de vitesse V1.

V(z) = V9+az
Déterminer et représenter sur la figure 1B le temps double de réflexion correspondant au réflecteur horizontal pour des couples source-récepteur confondus placés en z = 0 et x<0 (trajets à vitesse V(z)).
Donner un algorithme de migration permettant d’obtenir l’image de l’ensemble du milieu de vitesse V(z) dans la partie x<0.

V(x,z)
Déterminer l’abscisse xv du couple source-récepteur confondu pour lequel le rayon réfléchi sur le réflecteur horizontal et réfracté sur le réflecteur penté est vertical . Calculer le temps double correspondant et représenter le sur la figure 1B.
Tracer le rayon réfléchi sur le réflecteur horizontal en x = 1000 m. Calculer et représenter sur la figure 1B le temps double de réflexion correspondant.
Le rayon réfléchi sur le réflecteur horizontal en xa-ε est immédiatement réfracté et se propage entièrement dans le milieu de vitesse V1. Indiquer de quel rayon il s’agit sur la figure 1A.
Représenter sur la figure 1B le temps réfléchi correspondant au réflecteur horizontal sous le réflecteur penté en interpolant entre les points calculés et en respectant les pentes indiquées par les angles d’émergence des rayons en surface.
Pour calculer les temps de trajets, une alternative au tracé des rayons est la résolution par différences finies de l’équation iconale. Déterminer l’expression de l’opérateur de différences finies pour cette équation.
Déterminer l’expression de l’opérateur de différences finies implicite correspondant à l’équation d’ondes paraxiale à 15° dans les coordonnées (x,z,ω) et donner l’algorithme de la migration correspondante.

Réflexion par dessous dans un milieu où V(z) = V0+az
Expliquer pourquoi les rayons réfléchis par en dessous sur le réflecteur penté sont des arcs de cercle centrés en zc = -VO/a et xc = zc/tg(α).
Calculer l’angle d’incidence θ0 en z = 0 pour un rayon réfléchi par en dessous sur le réflecteur penté à la profondeur zr. En déduire le temps double de propagation. Rappel : le temps de propagation entre le point bas du rayon et la surface est -ln(tg(θ0/2))/a
Représenter sur la figure 1B les temps doubles de réflexion correspondant aux rayon réfléchis par en dessous sur le réflecteur penté représentés sur la figure 1A. Interpoler les temps de réflexion entre ces points en respectant la variation de pentes liée à la variation du paramètre des rayons.
Donner un algorithme de migration permettant d’imager le réflecteur penté par les réflexions par en dessous.

Déport source-récepteurs non-nul
Calculer et représenter sur la figure 2A les temps de réflexion pour un tir effectué en xa en se limitant aux propagations dans le milieu de vitesse V1.
Calculer et représenter sur la figure 2B les temps de réflexion pour point milieu commun en xa en se limitant aux propagations dans le milieu de vitesse V1.

Solution - fig1a - fig1b -

Examen 2011

Examen 2010

fig1 - fig1
La fig. 1 est obtenue en additionnant des ondes planes harmoniques de même amplitude, de différentes fréquences, ayant un même paramètre p dans un milieu de vitesse constante V0. Elle montre les plans : 1a (x, z = 0, t), 1b (kx, z = 0, ω), 1c (x, z, t = 0), 1d (kx, kz, t = 0). Les axes dans le domaine de Fourier sont gradués en cycle/s = Hz (f = ω/2π) ou cycle/m (cx = kx/2π , cz = kz/2π).
Expliquer dans quel cas on peut considérer la fig. 1a comme la réflexion issue du réflecteur de la fig. 1c.
Déterminer :
- p à partir de la fig. 1a puis de la fig. 1b,
- le pendage α du réflecteur à partir de la fig. 1c puis de la fig. 1d,
- la vitesse V0 de propagation, en supposant des temps simples réflecteur-surface
- les pas d’échantillonnage dt, dx et dz à partir des fig. 1b et 1d,
- les pas d’échantillonnage df, dcx , dcz à partir des fig. 1a et 1c
Représenter sur la fig. 1b les pentes correspondant aux pendages 0° et 90°. Y-a-t-il un risque d’aliasing spatial ? Qu’en est-il avec un pas dx double de celui utilisé ?
Déterminer les coordonnées du point du réflecteur correspondant à la réflexion en x = 2000 m. Représenter sur la fig. 1a la courbe de diffraction correspondant à ce point.
Représenter sur la fig. 1c le lieu des points correspondant à l’échantillon situé en x = 2000 m et t = 0.5 s sur la fig 1a, considéré comme une impulsion dans le plan (x,t).
Représenter sur la fig. 1d le lieu des points correspondant à la fréquence f = 30 Hz. En quoi consiste la migration dans le domaine de Fourier ?

fig2
La fig. 2 représente les TF1D et 2D de la fig. 1a.
Sur les fig. 2b et 2d, les courbes correspondent respectivement aux équations f = n/px et cx = np/t avec n = 1,2,3. Expliquer pourquoi les spectres de phase montrent les mêmes valeurs de phase le long de ces courbes, sachant que les ondes harmoniques additionnées ont toutes une phase nulle (considérer l’effet sur la phase du décalage du temps d’arrivée avec x ou de la distance d’arrivée avec t).
Expliquer pourquoi l’échantillonnage en fréquence ou en nombre d’onde relie les valeurs de phase en des positions symétriques par rapport au milieu de l’axe des x ou des t (comparer l’effet sur la phase d’un décalage t0 avec celui d’un décalage T-t0 où T est le temps maximum).
Expliquer comment on obtient la TF2D (fig. 2e et 2f) à partir de la figure 1a.

fig3
La fig. 3 représente trois étapes de la migration « phase-shift » de la fig. 1a, reproduite sur la fig. 3c.
Donner l’algorithme de la migration « phase-shift » pour une vitesse de propagation constante.
Comment obtient-on la fig. 3d à partir de la fig. 3a ?
Quelle information la fig. 3e apporte-t-elle sur la fig. 3f par rapport au prolongement en z = 500-dz ?

fig4
La fig. 4 représente la migration « phase-shift » de la fig. 4c. Celle-ci correspond à la réflexion sur le réflecteur de la fig. 1c dans le cas où la vitesse augmente linéairement avec la profondeur : V (z) = V0+az.
La réflexion de la fig. 4c est obtenue par modélisation « phase-shift » (procédure inverse de la migration « phase-shift ») adaptée au milieu V(z), donc par l’intermédiaire de TF2D périodique. Que représente le signal observé dans le coin inférieur gauche de la fig. 4c ?
Pourquoi observe-t-on une hyperbole dans le coin inférieur droit de la fig. 4.c et de quel point provient-elle dans le plan (x,z)?
Les pentes sur la fig. 4a limitent l’éventail de pentes correspondant à la réflexion de la fig. 4c. En déduire la valeur du gradient de vitesse a.
Etablir la valeur de vitesse que l’on doit utiliser pour calculer la courbure de l’hyperbole de la question 14 sans tracer de rayon ?
Donner l’algorithme de la migration « phase-shift » pour une vitesse V(z).
Comment obtient-on la fig. 4d à partir de la fig. 4a ?
La fig. 4c correspond à la réflexion sur le réflecteur penté sur sa face supérieure. Faire une figure dans le plan (x,z) représentant un rayon (arc de cercle) réfléchi sur la face supérieure et inférieure du réflecteur au même point du réflecteur.
Faire une figure dans le plan (x,t) montrant simultanément les réflexions provenant des faces supérieure et inférieure du réflecteur. Comment modifier l’algorithme de migration « phase-shift» pour pouvoir migrer les réflexions sur la face inférieure du réflecteur (traiter successivement le trajet montant du point bas du rayon à la surface puis le trajet descendant du réflecteur au point bas du rayon) ?

Examen 2009

fig1 - fig2

La figure 1b montre une section sismique réflexion (x,t) à déport nul obtenue pour un modèle (x,z) comportant un réflecteur horizontal à la profondeur z1 = 1800 m et un réflecteur penté. La vitesse V1 dans le milieu au dessus du réflecteur penté est constante. La vitesse dans le milieu au dessus du réflecteur horizontal varie selon la loi V(z) = V0+az avec V0 = 1000 m/s.
La figure 2 montre des réflexions en points milieux communs pour le réflecteur penté (y = 1000 m et y = 5000 m) et pour le réflecteur horizontal (y = 3000 m), sans et avec correction NMO.
Les temps sont des temps aller-retour en millisecondes.

Déterminer le pendage α du réflecteur penté et la vitesse V1 à partir des figures 1b et 2b (attention au temps double). Tracer le réflecteur penté sur la figure 1a.
Vérifier que pour le point du réflecteur penté situé à x = 1000 m, la trajectoire de diffraction correspond à celle de la figure 1b.
Expliquer comment cette trajectoire de diffraction intervient dans la migration de la réflexion pentée de la figure 1b.

Calculer l’expression du temps vertical de propagation entre z = 0 et z1 dans le milieu de vitesse V(z). Vérifier que le temps double t1 = 1664 ms sur la figure 1b correspond à V(z1) = V1.
Calculer l’expression de VRMS(z1) dans le milieu de vitesse V(z). Vérifier que sa valeur correspond à la figure 2d.
Expliquer pourquoi la trajectoire de réflexion de la figure 2c est la même que la trajectoire de diffraction centrée en x = 3000 m sur la figure 1b.
Expliciter l’algorithme de migration de type « phase-shift » permettant d’effectuer la migration de la section dans le domaine (kx, ω, z) dans la partie du modèle où V(z) = V0+az

Tracer le rayon à déport nul réfléchi sur l’interface horizontale au point x = 600 m (entre l’interface et le réflecteur penté, la vitesse varie linéairement entre V(z1) et V(z(intersection entre le rayon et le réflecteur penté))). Vérifier que son point d’émergence en surface, le temps obtenu et l’angle d’incidence du rayon en z = 0 correspondent à la figure 1b.
Quelle modification doit-on faire à l’algorithme de migration « phase-shift » pour pouvoir l’utiliser entre x = 0 et 2000 m ? Expliciter la correction à l’itération correspondant à la profondeur z = 500 m.
Alternativement, on peut choisir d’utiliser une méthode de migration par différences finies basée sur une équation d’onde paraxiale. Etablir l’équation d’onde paraxiale à 15° pour les ondes montantes dans le domaine (x,z,t).

Tracer le rayon à déport nul réfléchi sous l’interface pentée en z = 0, se propageant dans le milieu V(z). Indiquer sur la figure 1c le point A correspondant à ce rayon réfléchi. Vérifier que la pente de la réflexion en A correspond au paramètre p du rayon.
Rappel : les rayons sont des arcs de cercle centrés en z = -V0/a , avec R = 1/ap , le temps de propagation entre le point bas du rayon d’incidence pi/2 et le point d’incidence q(z) est t = -1/a Log(tg(q(z)/2))
Tracer le rayon à déport nul réfléchi sous l’interface pentée en x = 1000, se propageant dans le milieu V(z). Indiquer sur la figure 1c le point B correspondant à ce rayon réfléchi. Vérifier que la pente de la réflexion en B correspond au paramètre p du rayon.
De quel point (x,z) provient la diffraction représentée sur la figure 1c ? Comment est-elle calculée ? Comment est-elle utilisable dans la migration de la réflexion de la figure 1c ?

La figure 2e montre que la courbure de la trajectoire de réflexion correspondant à la réflexion sous l’interface pentée est inverse de la courbure normale. L’opérateur NMO n’a aucune chance de fonctionner dans ce cas, à moins d’utiliser une vitesse imaginaire.
fig3
La figure 3 montre l’opérateur DMO calculé pour un demi-déport h = 1000 m dans un milieu ayant la vitesse V(z) du cas étudié. La figure 3a montre les temps de diffraction source – (x,z) – géophone. Les figures 3b et 3c montrent les opérateurs DMO pour les rayons partant respectivement des réflecteurs vers le haut et vers le bas.
Expliquer ce que représentent les opérateurs DMO sur la figure 3 et comment on les calcule.
En quoi permettent-ils de traiter les trajectoires de réflexion telles que celles montrées sur la figure 2e.

solution

Examen 2008

On cherche à déterminer la géométrie des réflecteurs dans un milieu comportant une couche de vitesse V1 sur un demi-espace de vitesse V2.
On considère les cas correspondant aux figures 1 et 2 sur lesquelles on observe :
A : les temps double de réflexion à déport nul le long d’un profil sismique
B : un point milieu commun pris en x = 500 m (h est le demi-déport source-géophone).
C et D : le même point milieu après correction NMO en utilisant les vitesses constantes indiquées sur la figure.

Cas de la figure 1 : fig1
Expliquer comment on obtient les figures 1C et 1D à partir de la figure 1B. Expliquer l’origine des différentes courbures apparentes sur ces figures. Déterminer la valeur de V1 dans la couche 1 au-dessus de la réflexion à t1 = 0.2 s.
Déterminer la profondeur z1 du réflecteur correspondant à la réflexion au temps t1 = 0.2s (attention t1 est un temps double). Dessiner le réflecteur sur la figure 3A.
Pour un point diffractant en (x = 500 m, z1), déterminer la trajectoire de diffraction à déport nul dans le plan (x,t). Dessiner cette trajectoire sur la figure 1A en vous servant de la figure 1B (expliquer pourquoi on peut s’en servir).
Etablir l’expression de VRMS pour un milieu comportant deux couches de vitesses V1 et V2 et d’épaisseur d1 et d2. Déterminer la valeur de VRMS correspondant à la réflexion à t2 = 0.4s.
Déterminer la vitesse V2 dans la couche entre les réflexions à t1 et t2. En déduire la profondeur z2 du réflecteur correspondant à la réflexion au temps double t2 = 0.4s. Dessiner le réflecteur sur la figure 3A.
Pour un point diffractant en (x = 500 m, z2), déterminer la trajectoire de diffraction à déport nul dans le plan (x,t). Dessiner cette trajectoire sur la figure 1A en vous servant de la figure 1B (expliquer pourquoi on peut s’en servir).
Mesurer la pente de la réflexion pentée sur la figure 1A. En déduire le pendage α du réflecteur penté lui correspondant, en supposant que la vitesse entre le réflecteur et la profondeur z1 est V2. Attention au temps double et au changement de vitesse en z1.
Tracer le rayon réfléchi sur le réflecteur de pendage α partant du point milieu en x = 500 m pour h = 0.
Déduire du temps t3 observé en x = 500m sur la figure 1A pour la réflexion pentée la profondeur z3 du réflecteur penté au point de réflexion correspondant à ce rayon. On commencera par retrancher à t3 le temps passé dans la couche 1 sous l’incidence α1.
Déterminer l’abscisse x3 du point de réflexion correspondant à ce rayon. Dessiner le réflecteur penté sur la figure 3A.
Pour un point diffractant en (x3, z3), déterminer le temps minimum de diffraction à h = 0. Reporter ce temps sur la figure 1A puis dessiner la trajectoire de la diffraction issue de (x3, z3) compte tenu des contraintes dont on dispose en x = 500 m.
Dessiner P1(kx, ω) correspondant à la figure 1A. Pour une fréquence maximum de 100 Hz, quelle valeur maximum d’échantillonnage spatial Dx doit-on utiliser pour éviter l’aliasing spatial ? Expliquer comment obtenir la figure 3A à partir de P1(kx,ω).

Cas de la figure 2 : fig2
Déterminer l’équation donnant le temps de trajet d’une réflexion sur un réflecteur de pendage α pour une vitesse de propagation constante V dans le cas d’un point milieu commun.
A partir de la pente de la réflexion passant par l’origine sur la figure 2A et de la vitesse pour cette réflexion sur le point milieu en x = 500 m, déterminer le pendage α du réflecteur et la vitesse V1 dans le milieu au-dessus du réflecteur. Dessiner le réflecteur sur la figure 3B.
Pour un point diffractant situé sur le réflecteur penté à la profondeur z1 déterminée dans le cas 1, dessiner la trajectoire de diffraction à déport nul correspondante sur la figure 2A. Sur quelle figure la trajectoire de réflexion identique à celle de diffraction est-elle représentée ?
On suppose que la vitesse V2 sous le réflecteur de pendage α est la même qu’en I). Vérifier que la deuxième réflexion sur la figure 2A correspond au réflecteur à la profondeur z2 trouvé en I) en utilisant le temps en x = 0 et la pente observée sur la figure 2A pour cette réflexion. Dessiner le réflecteur sur la figure 3B.
Tracer le rayon réfléchi sur le réflecteur à la profondeur z2 partant du point milieu en x = 500 m pour h = 0. Déterminer l’abscisse x2 du point de réflexion correspondant. Vérifier que l’on obtient le même temps que sur la figure 2B.
En quoi la trajectoire de diffraction à déport nul issue du point (x2, z2) diffère-t-elle de la trajectoire de réflexion montrée sur la figure 2B au niveau des temps d’arrivée ? Déterminer l’écart entre x2 et l’abscisse du point où est observé le temps minimum de diffraction en surface.
Vérifier que la troisième réflexion sur la figure 2A correspond au réflecteur penté profond du cas I). Dessiner le réflecteur sur la figure 3B.
Dessiner P2(kx, ω) correspondant à la figure 2A. Expliquer comment obtenir la figure 3B à partir de P2(kx,ω). Dessiner P2(kx, ω, z2) en indiquant la valeur des pentes.

Figure 3 : fig3

Examen 2007

On dispose d’une section sismique à déport nul et de trois point-milieux situés en x = 1000, 3000, 5000 m.
section sismique - points milieux
Déterminer la structure du sous-sol à partir de ces enregistrements en explicitant l’origine de chacune des arrivées réfléchies et diffractées et en établissant les équations nécessaires à leur calcul.

Proposer une méthode de migration adaptée à la structure de ce milieu. Détailler son principe, les détails de son implémentation et les caractéristiques requises au niveau des paramètres d’acquisition des données pour pouvoir l’utiliser.

Pour la méthode de migration de votre choix, écrire un algorithme détaillé prêt à coder.

Examen 2006

Soit un milieu (x,z) de vitesse constante V = 2000 m/s. On souhaite obtenir une section migrée comportant tous les réflecteurs de pendages inférieurs à un angle α = 60° dans un rectangle de longueur X = 1000 m et profondeur Z = 1000 m. Déterminer :
  • la longueur L et le temps double d’enregistrement T de la coupe sismique (x,t) à déport nul nécessaires pour observer les réflexions à l’intérieur du rectangle ;
  • l’ouverture O(z) de l’opérateur de migration hyperbolique nécessaire pour imager à chaque profondeur z les pendages inférieurs à α ; (l’ouverture de l’opérateur est l’intervalle en x dans lequel la sommation est faite)
  • l’échantillonnage (Δt , Dx) nécessaire pour éviter l’aliasing temporel et spatial pour une fréquence maximum F = 125 Hz ;
  • le domaine du plan (kx, ω) utilisé dans la migration de Stolt ;
  • le domaine du plan (kx , kz) rempli lors de la migration de Stolt.

    On effectue la migration avec la méthode de Stolt.
    Comment une valeur échantillonnée de P(kx , kz) est-elle obtenue à partir des valeurs échantillonnées de P(kx, ω) ?
    Quel est le résultat attendu de la migration d’une impulsion placée en (x = 0, t0 ) ? Que donne la méthode de Stolt ? Pourquoi le résultat se dégrade-t-il quand t0 augmente ? Que peut-on faire pour l’améliorer ?

    Le milieu précédent est surmonté par une couche d’eau de vitesse V0 = 1500 m/s et d’épaisseur d0 = 75 m.
    Calculer VRMS à la profondeur z1 = 575 m.
    Calculer la distance horizontale et le temps de trajet pour un rayon issu sous l’angle θ = 60° d’un point diffractant à la profondeur z1 en respectant la loi de Snell.
    Calculer le temps de trajet à la même distance horizontale avec VRMS .
    Compte tenu de la fréquence maximum F, peut-on effectuer la migration avec un opérateur hyperbolique et VRMS ?
    Y-a-t-il une différence entre le plan (kx, ω) en présence et en l’absence de la couche d’eau ?
    Donner l’expression de kz(kx, ω) dans la couche d’eau et le milieu sous-jacent.
    Donner l’expression de P(kx, ω, z1) et celle de la section migrée à la profondeur z1.

    Le fond de l’eau présente un pendage β = 10°.
    Si on effectue la migration avec un opérateur hyperbolique et VRMS, quelle erreur de positionnement latéral fait-on pour un point diffractant situé à la profondeur z1 et pour lequel le temps minimum de diffraction est observé en une position où la profondeur d’eau est d0 ?
    Que devient le plan (kx, ω) ?
    Donner une expression de kz(kx, ω) permettant d’effectuer la migration dans le plan (kx, ω) en tenant compte de la variation latérale de vitesse dans un intervalle de profondeur intersectant le fond de l’eau.
    Pour un point-milieu commun, déterminer l’équation donnant le temps de trajet de la réflexion au fond de l’eau en fonction de la distance source-récepteur.
    Construire graphiquement la coupe à déport nul obtenue à partir des données d’un point-milieu commun lorsque la transformation DMO est effectuée.

    Examen 2005

    La figure représente une interface entre un milieu de vitesse V1 = 1000 m/s et V2 = 1400 m/s .
    L’interface a un pendage α = 15° entre l’origine et la profondeur z = 200 m puis reste à la profondeur constante z = 200 m.
    Un réflecteur R2 à la profondeur z2 = 500 m se trouve dans le milieu de vitesse V2 dans l’intervalle -250 < x <1000 m.
    On note respectivement θ1 et θ2 les incidences des rayons par rapport à la verticale dans le milieu de vitesse V1 et V2 .

    Ecrire la loi de Snell sur la partie pentée de l’interface.
    Construire sur la moitié inférieure de la figure la réflexion à offset nul sur le réflecteur R2 en calculant les temps simple de propagation en x = -200 m et x = 1000 m et la vitesse apparente horizontale pour les rayons transmis à travers l’interface pentée.

    Soit un point diffractant D placé sur R2 en x2 = 500m . Tracer les rayons diffractés issus de D en calculant les coordonnées x1, z1 des points d’intersection des rayons avec l’interface en fonction de θ2 , puis x0 pour le point d’émergence du rayon en z = 0 en fonction de x1, z1 et θ1
    Exprimer le temps simple de propagation pour les rayons diffractés. Déterminer les temps pour θ2 = +- 30° . Représenter ces deux rayons et les temps correspondants sur la figure.
    Tracer le rayon image correspondant au point D (celui correspondant au temps minimum pour l’onde diffractée issue de D) et calculer le temps simple correspondant. Représenter le rayon image et le temps correspondant sur la figure.
    Tracer le rayon normal au réflecteur R2 issu de D et calculer le temps simple de propagation. Représenter les sur la figure (attention à la compatibilité avec la question 2).

    Calculer la vitesse VRMS à la verticale du point d’émergence du rayon image correspondant au point D pour l’intervalle de profondeur 0-500 m.
    Déterminer le temps de trajet pour la diffraction issue de D dans l’approximation hyperbolique autour du temps minimum. Calculer l’écart entre le temps exact et le temps approximé pour θ2 = +- 30°. Pour quelle période est-il négligeable ?
    On effectue la migration de la réflexion issue du point D de R2 avec un opérateur hyperbolique et on convertit le temps migré en profondeur en le multipliant par VRMS . Déterminer les coordonnées xm , zm de la position migrée Dm de D avec cette procédure et représenter le point obtenu sur la figure. Quelle erreur de positionnement fait-on verticalement et latéralement ?
    Expliquer comment effectuer la correction ramenant Dm en D .

    rayon image

    Représenter dans le plan (kx, ω) le lieu des valeurs non-nulles du module de P(kx, ω) correspondant à la réflexion à offset nul sur le réflecteur R2 .
    Représenter sur la figure le résultat de la migration de Stolt de la réflexion à offset nul sur le réflecteur R2 en utilisant la vitesse V1.
    Expliquer comment il faut effectuer la migration à partir de P(kx, ω) en prenant en compte la variation latérale de vitesse.
    Dans ce cas, représenter dans le plan (kx, ω) le lieu des valeurs non-nulles du module de P(kx, ω, z = 100m) et de P(kx, ω, z = 200m) correspondant à la réflexion à offset nul sur le réflecteur R2 (penser à utiliser les rayons).

    Contrôle continu 2005

    Soit un milieu de vitesse constante V = 1000 m/s comportant, comme sur la figure, un réflecteur de pendage θ = 30° passant par l’origine, un réflecteur horizontal à la profondeur zm = 1000 m et un point diffractant en (xm , zm) situé à l’intersection entre les deux réflecteurs.
    Construire précisément sur la moitié inférieure de la figure, en détaillant les calculs nécessaires, la coupe sismique à offset nul correspondant à cette structure pour des couples source-récepteurs placés le long de l’axe x dans l’intervalle 0 < x < 4000 m. Utiliser des temps simples de propagation (les temps sont en millisecondes sur la figure).
    Représenter sur la moitié supérieure de la figure les rayons que vous avez utilisés pour construire la coupe sismique.

    La coupe sismique est migrée avec une méthode de sommation sur trajectoires de diffraction.
    Tracer avec précision sur la figure la trajectoire de diffraction permettant d’obtenir le point du réflecteur horizontal situé à l’abscisse x1 = 3000 m.
    Tracer avec précision sur la figure la trajectoire de diffraction permettant d’obtenir le point du réflecteur penté situé à l’abscisse x2 = 1000 m.

    reflexion-diffraction offset nul

    On suppose que la coupe sismique p(x, t) a été obtenue sur la structure précédente avec une source émettant des fréquences entre 10 et 50 Hz dans l’intervalle 0 < x < 4000 m et 0 < t < 2000 ms.
    Représenter dans le plan (kx , ω) la TF2D de p(x , t) en indiquant le lieu de chaque réflexion et de la diffraction issue de (xm , zm).
    Quel pas d’échantillonnage spatial Δx doit-on utiliser pour éviter l’aliasing spatial pour la réflexion pentée ? pour la diffraction issue de (xm , zm) enregistrée jusqu’au temps t = 2000 ms ?
    Représenter dans le plan (kx , kz) le résultat de la migration de Stolt de p(x , t).
    Expliquer précisément comment la migration de Stolt passe du plan (kx , ω) au plan (kx , kz) ?

    On considère maintenant un point de tir placé en xm et des récepteurs dans l’intervalle 0 < x < 4000 m.
    Construire précisément sur la figure les rayons et les temps de réflexion et diffraction enregistrés pour ce point de tir (diviser les temps par 2 pour les représenter).

    point tir commun
    Quel effet le passage d’un regroupement de traces en point de tir commun à un regroupement en point-milieu commun placé en xm produit-il dans le cas précédent (justifier) ?

    point milieu commun

    Examen 2004

    I ) La figure montre un modèle de vitesse comportant 2 interfaces, la coupe sismique à déport nul correspondante et deux migrations de cette coupe réalisées avec deux méthodes différentes.
    Expliquer en traçant schématiquement quelques rayons l’origine des triplications observées sur la coupe sismique.
    La migration b) est obtenue avec une méthode de sommation sur trajectoire de diffraction. Expliquer quels sont les calculs nécessaires pour effectuer cette migration en prenant en compte le modèle de vitesse présenté.
    La migration a) est obtenue avec une méthode dite parcimonieuse qui réduit le nombre d’opérations nécessaires. Elle est basée sur le principe suivant :
  • détection sur la coupe sismique de la présence d’une réflexion en (x,t) et de sa pente p(x,t)
  • si une réflexion est détectée, migration de l’échantillon présent en (x,t) en partant du point (x , z = 0) et en utilisant les valeurs de t et p(x,t) correspondantes
  • sinon, rien

  • Expliquer quels sont les calculs nécessaires pour effectuer cette migration (hors l’étape de détection qui se réalise simplement en cherchant des signaux présentant localement une bonne cohérence latérale sur la section). Que gagne-ton par rapport au calcul précédent ? Quelle peut-être l’origine des artefacts visibles sur la section ?
    Expliquer comment on pourrait aussi effectuer la migration avec ce modèle de vitesse dans le domaine (kx , ω) avec correction dans le domaine (x , ω). Distinguer les calculs nécessaires dans les intervalles de profondeur 0-500 m , 500-1000 m, 1000-1200 m, 1200-1500 m.

    Hua B.L. and G. A. McMechan, 2001, Parsimonious 2-D poststack Kirchhoff depth migration

    II) On souhaite adapter la migration de Stolt au cas où V = V(z) .
    Soit P(kx , ω) le spectre de la section sismique. On considère d’abord la vitesse V constante.
    Exprimer P(kx , z) en fonction de P(kx , ω), kz et z sans effectuer le changement de variable de Stolt.
    Rappeler en quoi consiste la migration de Stolt et où est la principale difficulté pratique (en ignorant les problèmes d’aliasing).
    Soit tm = z/V le temps migré et ωm la pulsation correspondant à tm. Montrer que ωm = -Vkz .
    Exprimer P(kx , tm) en fonction de P(kx , ω) , ωm et tm .
    Montrer comment un changement de variable similaire à celui de Stolt permet d’obtenir P(kx , ωm) à partir de P(kx , ω).
    Plutôt que de faire le changement de variable, exprimer P(kx , tm) en fonction de P(kx , ω) , kx , ω , V et tm .
    Par une TF de P(kx , tm) exprimer P(kx , ωm) comme une intégrale sur ω de P(kx , ω) multiplié par une intégrale sur tm agissant comme un filtre dans le plan (kx , ω). Que fait ce filtre ?
    Expliquer comment on peut passer de P(kx , ω) à p(x , tm) grâce à la formule précédente.

    On considère maintenant une vitesse V = V(z)
    Exprimer P(kx , z+dz) en fonction de P(kx , ω , z), kz(z) et dz.
    Exprimer P(kx , z) en fonction de P(kx , ω) et l’intégrale de kz(z)dz.
    Exprimer P(kx , tm) en fonction de P(kx , ω) et l’intégrale de ωm(tm)dtm
    Déterminer l’expression du filtre permettant de réaliser la migration avec la vitesse V(z) en une seule étape , c’est à dire de calculer P(kx , ωm) directement à partir de P(kx , ω).
    Voici le résultat de la migration dans les plans (x, tm) et (kx , ωm) avec cette méthode pour des impulsions dans le plan (x , t). V est constant pour les figures du haut, V(z) augmente linéairement avec la profondeur en bas. Expliquer l’origine des différences entre les figures.

    Margrave G.F., 2001, Direct Fourier migration for vertical velocity variations

    Contrôle continu 2004

    Soit un point diffractant M (x = 0 , z = zm , t = 0) dans un milieu de vitesse de propagation V constante. On considère des trajets simples.
    Comment migre-t-on une coupe de sismique réflexion enregistrée avec des couples source-récepteur confondus en considérant que le sous-sol est constitué de points diffractants ?
    Exprimer le temps de trajet t(p) de M à la surface en fonction du paramètre p d’un rayon diffracté d’incidence θ par rapport à la verticale.

    On effectue la migration avec une vitesse V’ différente de V. On se trompe donc sur la direction de propagation θ’ correspondant à p mesuré sur la section sismique et sur la distance de propagation l’ correspondant à t(p) mesuré sur la section sismique.

    Déterminer l’angle θ’(p) correspondant au paramètre p et la distance de propagation l’(p) correspondant au temps t(p) dans la direction θ’(p).
    Dessiner les rayons de propagation (incidence θ) et de migration (incidence θ') et le point M’ où on migre l’onde issue de M sous l’incidence θ en utilisant la vitesse de migration V’ dans le cas où V’>V et V’Déterminer les coordonnées x’(p) et z’(p) du point M’ .
    Déterminer le lieu de M’ correspondant à différents angles θ en éliminant p2 entre x’2 et z’2.
    Que représente la courbe obtenue du point de vue de la migration ?
    Quelle forme obtient-t-on dans le cas où V’>V et dans celui où V’Dessiner dans le même plan (x , z) les résultats de la migration de la diffraction issue de M en utilisant V = 1000 m/s , V’ = 1200 m/s , V’ = 800 m/s.

    Déterminer sans calcul (mais en justifiant) l’enveloppe de la famille de demi-cercles de centres (x , z = 0) et rayons V’t(x) où t(x) est le temps de trajet diffracté issu de M en z = 0.

    point diffractant migré avec vitesse  différente de V

    Soit un segment de réflecteur plan AB horizontal dans le milieu de vitesse de propagation V (les extrémités A et B agissent comme des points diffractants).
    Dessiner la coupe migrée obtenue dans le plan (x , z) avec les vitesses V = 1000 m/s , V’ = 1200 m/s , V’ = 800 m/s.
    Mêmes questions pour un segment de réflecteur plan AB ayant un pendage θ .

    segment migré avec vitesse différente de V

    On s’intéresse maintenant à la migration dans le domaine de Fourier par la méthode de Stolt.
    Rappeler le principe de la migration de Stolt et les étapes de calcul nécessaires.
    Dessiner dans le même plan (kx , kz) le lieu correspondant aux valeurs de P(kx , ω = cte) pour des migrations faites avec V = 1000 m/s , V’ = 1200 m/s , V’ = 800 m/s..
    Même question pour les valeurs de P(kx , ω) correspondant à un pendage θ = cte .
    Représenter à la même échelle le maillage du plan (kx , kz) du à l’échantillonnage obtenu avec V = 1000 m/s , V’ = 1200 m/s , V’ = 800 m/s.
    Donner le pas d’échantillonnage en kz correspondant à chaque cas.
    Dans quel cas l’aliasing spatial est-il le plus un problème ?

    impulsion migré par Stolt avec vitesse différente de V - réflexion  migrée par Stolt avec vitesse différente de V

    Construire graphiquement les opérateurs DMO correspondant à une impulsion observée en x = 0 au temps t sur une coupe à déport h = cte pour V = 1000 m/s , V’ = 1200 m/s , V’ = 800 m/s..

    Examen 2003

    Il s’agit d’adapter les méthodes vues en cours à la migration à déport nul des réflexions multiples générées par la surface libre (elles ont parfois une amplitude si forte qu’elles subsistent sur la section sismique sommée). On considère les multiples se réfléchissant une seule fois sur la surface libre.

    Soit un point diffractant placé en M (xm, zm) et un couple source-récepteur confondu placé en S (x, 0). La vitesse de propagation V est constante.
    Déterminer le point de réflexion L à la surface libre horizontale du trajet SMLMS.
    Exprimer le temps de propagation t(LMS).
    Proposer un algorithme de migration des réflexions multiples générées par la surface libre par sommation sur trajectoire de diffraction.

    Soit un réflecteur plan de pente α passant par le point M. Déterminer l’angle d’incidence en S du rayon LMS réfléchi en M sur le plan de pente α.
    Exprimer kx correspondant à une réflexion multiple sur un plan de pente α.
    Exprimer dans le plan (kx , ω) l’opérateur de prolongement vers le bas des réflexions multiples générées par la surface libre.

    Le principe des réflecteurs explosants ne s’applique pas dans ce cas. Montrer qu’on peut utiliser un principe analogue de surface libre explosante.
    En déduire la valeur du temps tm auquel on obtient l’image du point M à partir du champ d’onde réfléchi prolongé en (xm, zm).
    Donner un algorithme de migration des réflexions multiples générées par la surface libre dans le domaine (kx , ω).

    Comment doit-on modifier cet algorithme pour tenir compte d’une variation verticale de vitesse V= V(z) ?

    Pour une vitesse variant aussi latéralement V =V(x,z), montrer que l’on peut utiliser le rayon image pour effectuer la migration des réflexions multiples.
    Donner un algorithme de migration des réflexions multiples générées par la surface libre dans le domaine (x, ω) valable quand V=V(x,z).

    Contrôle continu 2003

    La vitesse de propagation V est constante. On considère des enregistrements de sismique réflexion à déport nul (sources-géophones confondus). Les temps représentent des trajets simples.

    A) Migration par superposition de demi-cercles.
    Soit une hyperbole de diffraction dans le plan (x,t).
    Construire les demi-cercles permettant de la migrer dans le plan (x,z). Comment l’image du point diffractant se forme-t-elle ?
    Pour une fréquence f donnée, quel doit-être l’intervalle Δx entre traces pour que les demi-cercles produisent l’image sans artefact ?
    On restreint la migration aux pendages inférieurs à 45°. Construire les portions de demi-cercles intervenant dans la migration.
    Pour une fréquence f donnée, quel doit-être l’intervalle Δx entre traces pour que les demi-cercles produisent l’image sans artefact ?
    Même si cette condition est réalisée, les bords de la zone sur laquelle ont lieu les interférences créent un artefact de migration. Déterminer sa forme (celle des bords). Préciser les pentes parasites qui apparaissent au voisinage du point diffractant.
    La limitation en pendage tronque le spectre spatial horizontal du point diffractant. Pour une fréquence f donnée, comment cela se traduit-il sur l’image migrée ?

    B) Migration de Stolt
    Représenter la partie réelle de P(kx, ω), P(kx, kz), p(x,z) pour les sections p(x ,t) suivantes :
    une réflexion plane de pente p = dt/dx, sans aliasing spatial
    une réflexion plane de pente p = dt/dx, avec aliasing spatial
    une impulsion en x = 0 et t = t0
    Comment peut-on limiter les artefacts qui apparaissent dans ce type de migration ?

    C) Généralisation du DMO
    La figure illustre comment une impulsion observée sur une coupe temps à offset constant peut se transférer dans différents autres plans à offset constant. La transformation à offset nul est le DMO.
    Rappeler ce que représente et comment on obtient géométriquement l’ellipse DMO (calculs inutiles).
    Comment peut-on calculer la transformation vers un offset quelconque ?
    Hill S.J., R. Stolt and S. Chiu, 2001,
    Altering offsets and azimuths in a computer

    Examen 2002

    On se propose d’adapter la migration « phase-shift » à des coupes sismiques à déport constant.

    Rappeler comment la migration « phase-shift » à déport nul permet d’obtenir p(x,z) à partir de p(x,t, h=0) pour une vitesse de propagation V(z) par prolongement vers le bas du champ d’onde décomposé en ondes planes.

    Soit un volume de données sismiques p(s,g,t) résultant d’une acquisition 2D le long d’un axe Ox. Les abscisses mesurées le long de l’axe du profil sont notées s pour les sources S, g pour les géophones G, y=(s+g)/2 pour les points-milieux Y. Le demi-déport est h=(g-s)/2.
    Faire le diagramme permettant de passer des coordonnées (s,g) aux coordonnées (y,h) et indiquer où on trouve les collections de traces correspondant à un point de tir commun, un récepteur commun, un point-milieu commun, une coupe à déport constant.

    Etablir l’expression du temps de trajet pour une réflexion sur un réflecteur de pendage α et une vitesse constante V en fonction de s,g,α puis en fonction de y,h,α (utiliser le triangle OGS’ où O est l’intersection du réflecteur avec la surface et S’ est la source virtuelle).

    Pour réaliser la migration de p(s,g,t), il faut prolonger p(s en z=0, g en z=0, t) le champ d’onde vers le bas successivement pour les géophones p(s en z=0, g en z=Dz, t) puis pour les sources p(s en z=Dz, g en z=Dz, t) :

    Pour une collection en point de tir commun p(s0,g,t), le prolongement vers le bas des géophones peut se faire par « phase-shift » avec kzg = -(ω/V)(1-kg2V22)½.
    Donner l’expression de kg en fonction de l’angle θ entre S’S et S’G et α.
    Indiquer les étapes de calcul (TF, prolongement, TF-1) permettant de passer de p(s0 en z = 0, g en z = 0, t) à p(s0 en z = 0, g en z = Dz, t) avec kzg .
    Que faut-il faire pour passer de p(s en z=0, g en z=0, t) à p(s en z=0, g en z=Dz, t) pour l’ensemble des données ?

    Pour une collection en récepteur commun p(s,g0,t), le prolongement vers le bas des sources peut se faire avec kzs = -(ω/V)(1-ks2V22)½.
    Indiquer les étapes de calcul permettant de passer de p(s en z = 0 , g0 en z = Dz, , t) à p(s en z = Dz, g0 en z = Dz, , t) avec kzs .
    Que faut-il faire pour passer de p(s en z=0, g en z=Dz, t) à p(s en z=Dz, g en z=Dz, t) pour l’ensemble des dojn&eaaude;es ?

    Le passage de p(s en z=0, g en z=0, t) à p(s en z=Dz, g en z=Dz, t) peut se faire directement avec kzgs = (kzg + kzs) .
    Indiquer les étapes de calcul nécessaires pour passer de p(s en z = 0, g en z = 0, t) à p(s en z = Dz, g en Dz, t) en faisant le prolongement vers le bas avec kzgs .

    La longueur limitée L du dispositif d’enregistrement pose un problème pour les opérations précédentes : lequel et quel est son effet ?

    Pour éviter ce problème, on va désormais travailler avec p(y,h,t) .

    Montrer que ks = (ky-kh)/2 et kg = (ky+kh)/2 en exprimant les dérivées partielles de p par rapport à s et g en fonction de celles par rapport à y et h et en utilisant les relations entre (s , g) et (y , h).
    Exprimer kzgs en fonction de ky et kh pour obtenir kzyh(ky , kh) .
    Vérifier que pour kh=0, kzyh se réduit à l’opérateur de prolongement vers le bas de la migration « phase-shift » à déport nul.
    Indiquer les étapes de calcul nécessaires pour passer de p(y,h,z=0,t) à p(y,h,z=Dz,t) en faisant le prolongement vers le bas avec kzyh .

    La ligne de la coupe migrée à la profondeur Dz correspond à p(y,h=0,z=Dz,t=0). Cette condition remplace le principe des réflecteurs explosant pour la migration à déport non nul.
    Expliquer ce que signifie cette condition en considérant un rayon réfléchi pour un couple S,G au cours du prolongement vers le bas.
    Exprimer la coupe migrée P(ky,Dz) en fonction de P(ky,kh,z=0,ω).

    Si on ne migre qu’une seule coupe de demi-déport h0 , P(kh) = exp(-ikhh0)p(h0) .
    Montrer que l’intégrant de l’intégrale sur kh dans l’expression de la migration se met sous la forme exp (iφ(kh)) où φ(kh) = kzyhz-khh0 .

    Le point stationnaire de φ(kh) correspond au rayon réfléchi pour le déport h0 .
    En supposant que α = 0, donner l’expression de kh0 en fonction de z et h0.
    En déduire l’expression de exp(iφ(kh0) ), approximation à l’ordre 0 de l’intégrale sur kh .
    Toujours dans l’hypothèse où α=0, donner l’expression de φ(kh0) en fonction du temps de trajet de la réflexion.

    Pour aller plus loin : Alkhalifah, T., 2000, Prestack phase-shift migration of separate offsets

    Contrôle continu 2002

    I - La figure montre une section sismique à déport nul à la limite entre un dôme de sel et des sédiments stratifiés subhorizontalement. La vitesse apparente des réflexions pentées provenant du flanc du dôme est de 1440 m/s. La TF2D de la section montre que ces réflexions sont aliasées pour des fréquences supérieures à 20 Hz. (les figures proviennent de Biondi B., 2001, Kirchhoff imaging beyond aliasing).

    Expliquer ce qu’on observe sur la TF2D.

    Souligner sur la section sismique une réflexion de type A et déterminer la valeur maximum de la vitesse de propagation dans les sédiments en supposant qu’elle est constante.

    Déterminer l’intervalle Δx entre traces en utilisant les valeurs données.

    Dessiner la TF2D qui aurait été obtenue avec un intervalle Δx/2 (faire le dessin sous la TF2D représentée sur la figure, en respectant l’échelle).

    Quelle est la bande de fréquence utilisable pour migrer la section sans aliasing si on utilise les pentes inférieures ou égales à celles de A dans la migration ?

    Jusqu’à quelle fréquence peut-on monter pour la migration des réflexions subhorizontales ?

    Rappeler comment on calcule kx en fonction de l’indice n de la trace (1≤n≤N).

    Expliquer comment on passe du plan (kx-ω) au plan (kx-kx) dans la migration de Stolt.

    La section ne contenant aucune réflexion de pente opposée à celle de A, la partie aliasée du plan (kx-ω) représente les vraies valeurs de P(kx-ω) pour kx > kxN . Proposer une modification de l’algorithme de Stolt permettant de migrer les pentes de même signe que A pour kx tel que 0≤kx≤2kxN .
    Voici le résultat à comparer à celui obtenu sans modification pour une somme d'ondes planes harmoniques avec aliasing.

    migration au dela de Nyquist - migration avec aliasing

    II - Donner la construction géométrique permettant d’obtenir l’opérateur DMO transformant une impulsion enregistrée au temps th sur une section à déport constant (demi-déport h) en une section à déport nul (inutile de développer les calculs).

    Inversement, proposer une construction géométrique permettant de passer d’une impulsion enregistrée au temps t0 sur une section à déport nul en une section temps à déport constant h.

    Examen 2001

    I- Un logiciel de traitement des données de sismique réflexion comporte les modules suivants, listés par ordre alphabétique : Pour chacun des modules expliquer quels sont : Donner la suite de modules adaptés au traitement de données acquises sur :

    II- On a réalisé un profil 2D de sismique réflexion avec les paramètres d’acquisition suivants :
    intervalle entre tirs Δs = 40 m , intervalle entre traces Δg = 20m

    Déterminer l’intervalle entre point-milieu Δy et l’intervalle entre traces Δh sur un point-milieu commun.

    Soit un point de tir commun p(s0,g,t) et sa TF2D P(s0,kg,ω). Déterminer la valeur de Nyquist de kg.

    Soit un point-milieu commun p(y0,h,t) et sa TF2D P(y0,kh,ω). Déterminer la valeur de Nyquist de kh.

    Pour des ondes de surface de fréquence maximum 10Hz se propageant horizontalement (θ = 90°) avec une vitesse V, pour quelles valeurs de V y-a-t-il aliasing spatial sur le point de tir commun ? le point milieu commun ?

    III- La figure montre les temps de trajets de l’onde directe, d’ondes réfléchies sur 4 interfaces planes distinctes et de deux diffractions sur :

    réflexion sur point tir, milieu, offset nul

    Identifier les différentes ondes et vérifier que leur temps d’arrivée et les zones où elles sont enregistrées sur les trois figures correspondent bien à la même structure du sous-sol, que l’on déterminera.

    Contrôle continu 2001

    On considère que la vitesse de propagation V est constante et que les propagations se font dans un plan vertical.

    Soit un réflecteur semi-circulaire de rayon R. Déterminer géométriquement la forme de la réflexion à déport nul quand le point le plus profond du réflecteur est à une profondeur Z<R , Z=R et Z>R.

    Soit un point diffractant M à la profondeur Z. On considère le rayon vertical (θ=0) et un rayon d’incidence θ issus de M. Construire géométriquement l’image de M obtenue en migrant avec la vraie vitesse V, une vitesse Vi<V et une vitesse Vs>V (dans les trois cas, le temps de propagation et la vitesse apparente observés en surface correspondent à la vitesse V).

    Soit une section sismique à déport nul p(x,t) déterminée dans un intervalle 0<x<X et 0<t<T. Sur quel intervalle en x et z peut-on obtenir une section migrée où l’on est sûr que tous les pendages compris entre 0 et θm sont imagés? Pour un échantillonnage de p(x,t) avec des pas Δx et Δt, quelle est la plus petite différence de pente détectable dans le domaine (kx,ω)? dans le domaine (x,t)? dans le domaine (x,z)?

    Déterminer la relation entre la pente apparente observée sur une section (x,t) en présence d’aliasing spatial et la pente p réelle pour une valeur fixée de la pulsation ω. Que se passe-t-il si on a aliasing pour plusieurs valeurs de ω?

    Soit une section sismique à déport nul p(z,t) obtenue avec des couples source-récepteur placés dans un puits vertical situé en x=0. Adapter la migration de Stolt à cette configuration d’enregistrement. Quelle difficulté supplémentaire existe-t-il par rapport à la migration d’une section p(x,t)? Que peut-on proposer pour obtenir l’information manquante?

    Déterminer géométriquement la pente de la tangente à l’ellipse DMO au point de l’ellipse correspondant à un pendage θ .

    On enregistre Nh déports distincts, on utilise un opérateur hyperbolique de migration à déport nul comprenant Nm traces et un opérateur DMO elliptique comprenant Nd traces. Combien d’échantillons somme-t-on pour obtenir :

    En fait, le nombre de traces intervenant dans l’ellipse DMO dépend du déport h. Déterminer Nd(h) en fonction des pas d’échantillonnages Δh en déport et Δy en point-milieu. Comment ceci modifie-t-il les chiffres obtenus avec Nd constant?

    Examen 2000

    Etablir l'équation donnant la coupe sismique à déport nul (y0, t0 , h=0) correspondant à une impulsion enregistrée en (y=0, th) sur une coupe à déport constant h en supposant que la vitesse de propagation V est constante.

    Montrer que, par symétrie autour de l'axe source-géophone, l'opérateur DMO en 3D est identique à l'opérateur 2D quand V est constante.

    La figure représente l'opérateur DMO en 3D quand la vitesse V(z) augmente avec la profondeur. Expliquer comment on peut obtenir cette figure et la forme de l'opérateur.

    Rappeler pourquoi les méthodes de migration dans le domaine de Fourier permettent de migrer tous les pendages exactement quand la vitesse est constante Vc ou quand elle dépend de la profondeur V(z).

    Rappeler pourquoi les méthodes de migration par différence finie permettent de prendre en compte les variations latérales de vitesse V(y,z) seulement dans un domaine limité de pendage.

    Pour combiner les avantages des deux méthodes, Ristow et Ruhl (1994) proposent une méthode itérative hybride qu'ils appellent migration FFD (Fourier finite-difference). A chaque intervalle de profondeur, l'opérateur de prolongement vers le bas du champ d'onde dans le milieu de vitesse V(y,z) est développé en un opérateur dans un milieu de vitesse Vc (constante à la profondeur z) et deux termes correctifs :
    kz(V) = kz(Vc)-ω(1/V-1/Vc)-ω/V(1-Vc/V)(V2ky22)/(2-bV2ky2/2ω2)
    Vc est le minimum de V(y,z) à la profondeur z, donc, Vc/V<1.

    Ristow D. and T. Ruhl, 1994,
    Fourier finite-difference migration

    Contrôle continu 2000

    On suppose que la vitesse de propagation V est constante. Les sources et les récepteurs sont confondus à la surface z = 0 et placés le long de l'axe y.

    Indiquer à quoi correspondent les axes sur la figure jointe.

    Expliquer à quoi correspond la section somme sur la figure. Que représente chaque échantillon de cette section? Quelles hypothèses fait-on pour l'obtenir?

    Pour chacun des effets de migration décrits sur la figure, faire un schéma précis explicitant comment la géométrie de propagation permet de l'expliquer. Faire aussi un schéma expliquant la relation entre les sections au niveau des chenaux présents au fond de l'eau.

    Pour un point diffractant situé en (ym,zm) , expliciter l'expression du temps diffracté aller-retour t(y) dans les cas suivants :

    A l'issue d'une acquisition 3D, on dispose d'un volume de données p(x, y, t) correspondant à des couples source-récepteur confondus répartis sur une surface. Comment peut-on modifier un algorithme de migration 2D dans le domaine de Fourier pour réaliser la migration 3D? Que gagne-t-on par rapport à une migration 2D?

    Expliquer les problèmes dus à l'échantillonnage spatial et à la longueur d'enregistrement finie dans le cas de la migration dans le domaine de Fourier.

    Au cours d'une acquisition 3D, il en général impossible d'échantillonner avec Δx = Δy. Si Δx > Δy, comment doit-on orienter l'axe y par rapport à la direction de plus grande pente des structures pour minimiser les effets de l'échantillonnage spatial?

    Ecrire l'expression de p(y , z) en fonction d'une intégrale double sur ky et ω. En posant t = z/V et en manipulant cette intégrale, on réussit à la mettre sous la forme suivante :
    p(ym,τ) = ∫dy(τ/t)∫dω(iω)½P(y,ω)e-iωt avec t = τ(1+(y-ym)2/V2τ2)½
    Montrer que, si on néglige les termes (τ/t) et (iω)½ cette expression est analogue à la sommation le long d'une hyperbole de diffraction. Que représentent les termes correctifs?

    Examen 1999

    Montrer comment on obtient des équations d'onde paraxiale dans l'espace (x,z,t) à partir de la relation de dispersion de l'équation d'onde acoustique dans l'espace de Fourier. Comment utilise-t-on ces équations dans le problème de la migration des coupes de sismique réflexion? Dans quels cas?

    La figure montre l'effet d'une variation latérale de vitesse (1500 m/s) localisée au dessus d'un réflecteur sur l'analyse de vitesse, la coupe sommée en CMP, la migration temps et la migration profondeur. Expliquer comment on obtient chacune de ces coupes et ce qu'on y observe. Dans ce cas, quelle méthode de migration est-il approprié d'utiliser?

    On suppose que la vitesse de propagation V est constante. Les sources s et les géophones g sont placés en z=0. Le déport h est défini par h=(g-s)/2 , le point-milieu par y=(s+g)/2.

    Pour réaliser le DMO, on propose de transformer la trace enregistrée par le couple s-g de déport h en une matrice (h1,t1) où h12 = h2-y02 et t1=th1/h . Déterminer l'équation reliant t1, t0, h1 et V. Qu'a t'on gagné par rapport à l'équation du 1)? A quel prix?

    On veut réaliser l'opération de DMO dans le domaine de Fourier. On note p0(y0,t0,h) la coupe à déport nul que l'on cherche à obtenir à partir de la coupe à déport constant sur laquelle on a fait une correction NMO que l'on note pn(y,tn,h)

    Contrôle continu 1999

    On suppose que la vitesse de propagation V est constante et que les temps de propagation sont simples. On considère des propagations dans le plan (x,z).

    Un forage vertical placé en x=0 permet de mesurer le pendage θ(z) en fonction de la profondeur. Donner un algorithme permettant de vérifier la correspondance entre cette mesure et les réflexions observées sur une coupe sismique non-migrée enregistrée avec un déport nul (sans effectuer la migration de la coupe).

    Sur une coupe sismique non-migrée, comment détecte-t-on la présence de failles (dessin)?

    Dessiner un cône de diffraction dans le volume (x,z,t) et indiquer le lieu des points où ce cône est tangent à un plan de réflexion dans les cas suivants :

    Montrer que la migration par sommation d'hyperboles et par superposition de demi-cercles sont équivalentes.

    Expliquer pourquoi le nombre d'échantillons intervenant dans la sommation constructive d'une réflexion tangente à un temps t à une hyperbole de diffraction est fonction de la courbure de l'hyperbole à ce temps. Exprimer cette courbure en fonction du rayon du front d'onde diffracté au temps t, puis en fonction de l'angle de diffraction θ. En déduire le facteur permettant de pondérer la sommation pour que l'amplitude ne dépende pas du pendage.

    Représenter schématiquement, en précisant les valeurs des coordonnées le long des axes, les plans (x,t), (kx,ω), (kx,kz), (x,z) pour les sections sismiques suivantes, échantillonnées avec un pas Δx=100m et Δt=0.01s. La section sismique est connue sur une longueur X=2000m pendant un temps T=2s. La vitesse est V=1000m/s.

    Construire graphiquement (pas de calcul) la position correcte dans la coupe à déport (offset) nul (h=0) non-migrée d'un échantillon d'une réflexion observée avec un déport h à un temps t et provenant d'un réflecteur plan horizontal puis penté.